有趣的数学

启人

数的“金蝉出壳”法
　　数论中有许多题材使人沉湎其中，往往乐而忘返。所以，这门学科自古以来，就吸引着人们去探索。
　　通俗性与公证性是数论的两大特点，。这就是说，有些题目，虽然其推证方法与导出过程极其复杂深奥，可是它的结果却是人人都能理解、都能欣赏、都能鉴别的。这就像磁铁一样，有一种无形的吸引力，把越来越多的业余爱好者吸引了过去。
　　现在请看两组自然数，每组各有三个数，每个都是六位数字。把这两组数分别相加，就会发现它们的和是完全相等的，即：
　　123789+561945+642864
　　=242868+323787+761943
　　这样的性质，自然算不上什么稀罕。可是，要知道它们各自的平方之和也是相等的，那就是说：
　　123789×123789+561945×561945+642864×642864
　　=242868×242868+323787×323787+761943×761943
　　如果不信，请算一算吧!算过以后，你也许会伸伸舌头，说一声：“妙啊!”
　　且慢，真正的妙事还在后头呢!请把每个数的最左边一位数字都抹掉，你会发现，对剩下的数来说，上述的奇妙关系仍然成立，即：
　　23789+61945+42864=42868+23787+61943
　　23789×23789+61945×61945+42864×42864=42868×42868+23787×23787+61943×61943
　　事情真怪。让我们再抹掉每个数最左边的一位数字试试看吧!通过计算，上述性质依然保存着：
　　3789+1945+2864=2868+3787+1943
　　3789×3789+1945×1945+2864×2864=2868×2868+3787×3787+1943×1943
　　现在，我们索性一不做、二不休，继续干下去了。我们发现，尽管每次抹掉最左边的一位数字，可是这种奇妙的性质总是被“原封不动”地保存了下来：
　　789+945+864=868+787+943
　　789×789+945×945+864×864=868×868+787×787+943×943
　　89+45+64=68+87+43
　　89×89+45×45+64×64=68×68+87×87+43×43
　　直到最后只剩下个位数，这一“性质”依旧“巍然不动”：
　　9+5+4=8+7+3
　　9×9+5×5+4×4=8×8+7×7+3×3
　　这就像“金蝉脱壳”一般，脱到最后一层，金蝉却还是货真价实的金蝉，其“个性”可谓“至死不变”矣。
　　现在我们还是从原来的两组数出发，可是这一次却“反其道而行之”，即把两组数的数字逐个逐个地从右边抹掉。
　　经过这样的剧烈变动，这种性质总不见得保持下来了吧?可是，与人们预料的相反，这种性质居然还是保存了下来：
　　12378+56194+64286=24286+32378+76194
　　12378×12378+561948×561948+64286×64286=24286×24286+32378×32378+76194×76194
　　……
　　直到最后抹得只剩下个位数时也是如此：
　　1+5+6=2+3+7
　　1×1+5×5+6×6=2×2+3×3+7×7
　　这类问题在数论上叫做“等幂和问题”，在国内外，它一直吸引着大批爱好者，但至今仍未能彻底解决。

数趣
　　“数字是万物之本”，数字学家毕达哥拉斯的这句话常常被人引证。甚至对于“什么是朋友”这样的问题，他也可用数字加以回答：“朋友就是你的另一个我，其关系就如220和284。”
　　友好数对
　　该数对的神秘在于：所有该数的整除数之和（包括1，但不包括该数本身）等于另一个数。220的整除数之和为1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110=284，284的整除数之和为1＋2＋4＋71＋142=220。有1800年之久，人们只知道这一数对是“友好”数对。直至1636年，业余数学家皮勒才成功地发现了第二数对：17296和18416。今天，数学家已发现了1200对这样的数对，其中最大的一对是111448537712和118853793424。
　　花瓣与小兔的数字之美
　　雷奥那多将阿拉伯数字引入欧洲，他自称费波南希。他在观察小白兔的繁殖时发现了值得注意的数字规律：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……其特点是前两个数字之和即为下一个数。直至今天，这一特性仍受到人们的关注，因为费波南希数字常常令人吃惊地出现在自然界中。比如：许多花瓣的数字正是这样。
　　为什么13是个倒霉的数字
　　它的基本设想来自威廉姆·福利斯、一位柏林医生的理论，即：人类发展史中的一切都可用一个简单公式“23X＋28Y”来计算，X和Y是正或负的整数。比如：一年有365天，因为365=23×11＋28×4；法国革命开始于23×23＋28×45=1789年；人类细胞核中有46对染色体=23×2+28×0；《圣经》中动物数是23×18＋28×9=666；而13是个倒霉的数字，因为13=23×3＋28×（-2），——式中出现了负数。
　　正如美国数学家诺伯特·维纳尔所指出的“数字是真理的源泉”，“但数字更多的是将人们引入超现实的境地。”

构建数学金字塔　　
　　用数字1、2、3……9能排出不少有趣的金字塔加法算式。大家都知道，做加法时非得要求把每个加数的个位对齐不可，所以我们等式中的金字塔都只能从侧面来欣赏，但是这并不影响它的赏心悦目。
　　一、把1、2、3……9这9个数字按照由小到大的顺序从上往下循环排列，逐步增加数字的个数，直到全部数字都出现在同一行中。这时又接着从大到小地往下排列各数，逐步减少数字，直到只剩下最后1个数字为止。你就获得了第一座金字塔，这座金字塔的和竟是——1234567890!你觉得惊奇吗?换一下排列的方向，你又能获得第二座金字塔，两座金字塔的结果相同。（图A）
　　二、让我们再来建造第二批金字塔。这次只限于使用所有的奇数数字1、3、5、7、9。我们依然由小到大从上往下排，在达到最高的9个数字时，再由大到小地排下去，它们每行的数字也依旧是从增加到减少，形成一个横卧的金字塔。我们依然也列出两种方向的排法。你猜怎么着?这次的结果依然和第一批金字塔相同：还是1234567890!真是十分奇妙!（图B）
　　三、下面来换上所有的偶数如何?但是我们不得不排除掉数字0，因为它在加法中不起多大作用。这时参加循环排列的数字只有2、4、6、8这4个，比刚才的奇数数字少了1个，但我们仍然由小到大从上往下排，待排到出现9个数字为止，然后再逐步递减到只剩下1个数字。真想不到，答案又是1234567890!这场“奇偶数大战”出人意料的以1∶1告终，双方谁也没有占到什么便宜。（图C）
　　四、如果你嫌刚才的金字 塔不够壮观，那么这次可以让台阶更长一些，堆得也更高一些，排得最高时达到17个数字。不过如果你细心观察的话，这里的排列规律并没有什么区别，故不再详细介绍了。现在请你仔细 看，这次的结果为112233445566778890，是个18位数。这两座金字塔可以说很壮观吧!（图D）
　　五、事实上，构建金字塔的材料是很多的，并不局限于以上所举的那一些。不妨选上3个数字，假定是1、4、7或者2、4、6，我们也可以拿它们来建塔。当然这里要做点变动，细心的读者会从以下的金字塔中发现有个别的数字并不服从总的规律。这样做完全是为了使结果符合理想数987654321。但如果粗心一点的话，你是不会发觉的。（图E）
　　用数字建造金字塔能使你感到数学既美丽又奇妙，希望你也能建造出类似的金字塔。

タケル_old

看数字看晕了头~

緒方六夜_old

好强的推论啊,果然数学是有趣的~~

タケル_old

看来只有代表知识的光子郎看得懂~

宇宙光阴_old

宇宙是神奇的！
数学的谜随着人们的探索，会越来越多！
正如宇宙一样深不可测！

タケル_old

晕~都是高深的人~深不可测啊~

阿武_old

舌头一伸：晕啊~~